Probabilité au poker

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On peut calculer la probabilité d'avoir chaque type de main de 5 cartes au Poker

Sommaire

1 Poker fermé : main de base
2 Poker fermé : amélioration d'une main
3 Poker ouvert : meilleure main sur 7 cartes

3.1 Total
3.2 Quinte flush
3.3 Carré
3.4 Full
3.5 Couleur
3.6 Quinte

3.6.1 aucune paire, 7 valeurs différentes
3.6.2 une paire, 6 valeurs différentes
3.6.3 deux paires, 5 valeurs différentes
3.6.4 un brelan, 5 valeurs différentes

3.7 Brelan
3.8 Deux paires
3.9 Paire
3.10 Carte haute

Poker fermé : main de base

Le tableau suivant résume les probabilités d'obtenir chaque main, pour un jeu de 52 cartes et pour un jeu de 32 cartes. Les calculs pour le jeu de 52 cartes sont faits avec les «quintes étendues», c'est-à-dire que la combinaison A-2-3-4-5 est considérée comme une quinte. On remarque que l'ordre de difficulté des mains n'est pas le même pour les deux jeux : la couleur devient plus rare que le carré, et la carte haute plus rare qu'une paire.

Main	52 cartes (quinte étendue)		32 cartes
Main	combinaisons	probabilité	combinaisons	probabilité
Quinte flush	40	0,00154%	16	0,0080%
Carré	624	0,024%	244	0,111%
Full	3 744	0,144%	1 344	0,667%
Couleur (ou Flush)	5 108	0,196%	208	0,103%
Quinte	10 200	0,392%	4 080	2,026%
Brelan	54 912	2,112%	10 752	5,339%
Deux paires	123 552	4,753%	24 192	12,013%
Paire	1 098 240	42,256%	107 520	53,393%
Carte haute	1 302 540	50,117%	53 040	26,339%
Total	2 598 960	100%	201 376	100%

Détails du calcul

Le nombre de combinaisons de chaque main se calcule avec l'aide des combinaisons

Soit N le nombre de valeurs (N=13 pour un jeu de 52 cartes, et N=8 pour un jeu de 32 cartes).

Soit S le nombre de suites admises.
- Pour un jeu de 52 cartes, en comptant les suites de A-2-3-4-5 à 10-V-D-R-A, S=10.
- Pour un jeu de 32 cartes, les suites allant de 7-8-9-10-V à 10-V-D-R-A, S=4.

Total

Il y a 4N cartes dans le paquet, il y a donc $\textstyle{{4N \choose 5}}$ mains de 5 cartes possibles.

Quinte flush

Une quinte flush est déterminée par la valeur de sa carte haute ( $\textstyle{{S \choose 1}}$ possibilités), et par sa couleur (4 possibilités).

Au total, $\textstyle{{S \choose 1} 4}$ .

Carré

Un carré est déterminé par la valeur du carré ( $\textstyle{{N \choose 1}}$ valeurs possibles), et par la carte libre ( $\textstyle{{4N-4 \choose 1}}$ possibilités).

La seule combinaison au-dessus du carré est la quinte flush (éventuellement royale), et un carré ne peut être aussi une quinte flush, quelle que soit la carte libre, puisque les 4 cartes du carré ont des couleurs différentes

Au total, $\textstyle{{N \choose 1} {4N-4 \choose 1}}$ .

Full

Un full est déterminé par la valeur du brelan ( $\textstyle{{N \choose 1}}$ valeurs possibles), les couleurs des 3 cartes qui composent le brelan ( $\textstyle{{4 \choose 3}}$ combinaisons de couleurs possibles), la valeur de la paire ( $\textstyle{{N-1 \choose 1}}$ valeurs possibles) et les couleurs des 2 cartes qui la composent ( $\textstyle{{4 \choose 2}}$ combinaisons de couleurs possibles).

Un full ne peut être ni un carré (puisqu'il n'y a pas de carte libre), ni une quinte flush (puisque les 3 cartes du brelan ont des couleurs différentes).

Au total, $\textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 3} {N-1 \choose 1} {4 \choose 2}}$ .

Couleur

Une couleur contient 5 cartes de valeur différente parmi N, chaque carte devant être de la même couleur.

Une couleur ne peut être ni un carré, ni un full, puisque les 5 cartes ont forcément des valeurs différentes. Une couleur peut être une quinte flush, il faut donc les exclure.

Au total, $\textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) 4}$ .

Quinte

Une quinte est déterminée par la valeur de sa carte haute ( $\textstyle{{S \choose 1}}$ possibilités), et par les couleurs des cartes qui la composent. Il y a $\textstyle{4^5}$ combinaisons de couleurs.

Une quinte ne peut être ni un full, ni un carré, puisque les 5 cartes ont forcément des valeurs différentes. Mais elle peut être une couleur, et dans ce cas, c'est une quinte flush. Il faut donc exclure ces cas, c'est-à-dire 4 combinaisons de couleurs parmi les $\textstyle{4^5}$ .

Au total, $\textstyle{{S \choose 1} (4^5-4)}$ .

Au moins une Quinte (Quinte flush)

C'est la possibilité d'avoir une quinte ou mieux d'avoir une quinte flush si toutes les cartes sont de la même couleur.

Au total, $\textstyle{{S\choose 1}(4^5)}$ .

Brelan

Un brelan est déterminé par la valeur du brelan ( $\textstyle{{N \choose 1}}$ possibilités), les couleurs des cartes du brelan ( $\textstyle{{4 \choose 3}}$ possibilités), et les 2 cartes libres.

Pour que la main ne soit ni un carré, ni un full, il faut que les valeurs des deux cartes soient différentes l'une de l'autre et différentes de la valeur du brelan. Leur couleur est libre. ( $\textstyle{{N-1 \choose 2} 4^2}$ possiblités).

La main ne peut être une suite, puisque les valeurs des 3 cartes qui forment le brelan devraient être différentes, ni une couleur (ni une quinte flush), puisque les couleurs des 3 cartes du brelan devraient être identiques.

Au total, $\textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 3} {N-1 \choose 2} 4^2}$ .

Deux Paires

Deux paires sont déterminées par les valeurs des deux paires ( $\textstyle{{N \choose 2}}$ possiblités), les couleurs des deux cartes de chaque paire ( $\textstyle{{4 \choose 2}}$ possibilités pour chacune).

Deux paires ne peuvent être ni une suite, ni une couleur, ni une quinte flush puisque les valeurs des cartes devraient être différentes. Deux paires ne peuvent pas non plus être un carré, puisque la carte libre fait au mieux un full. Pour ne pas faire de brelan/full, il faut que la carte libre ait une valeur différente de chacune des deux paires (N-2 possiblités). Sa couleur est libre (4 possibilités).

Au total, $\textstyle{{N \choose 2} {4 \choose 2}^2 (N-2) 4}$ .

Au moins une paire (Full ou double paire possibles)

Une paire est déterminée par sa valeur ( $\textstyle{{N \choose 1}}$ possiblités), la couleur de ses cartes ( $\textstyle{{4 \choose 2}}$ possibilités), les valeurs des 3 cartes libres ( $\textstyle{(N-1)^3}$ possibilités) et leurs couleurs.

Au total, $\textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 2} (N-1)^3 4^3}$ .

Au moins une paire (Brelan, carré, full ou double paire possibles)

Le nombre de mains ne contenant pas de paire s'obtient en choisissant 5 valeurs parmi les N possibles : $\textstyle{{N \choose 5}}$ et pour chaque carte, sa couleur $\textstyle{4^5}$ , soit $\textstyle{{N \choose 5} 4^5}$ .

Au total, $\textstyle{{4N \choose 5}-{N \choose 5} 4^5}$ .

Une Paire

Une paire est déterminée par sa valeur ( $\textstyle{{N \choose 1}}$ possiblités), la couleur de ses cartes ( $\textstyle{{4 \choose 2}}$ possibilités).

Une paire ne peut être ni une suite, ni une couleur, ni une quinte flush puisque les valeurs des cartes devraient être différentes. Pour que la paire ne forme ni deux paires, ni un brelan, ni un full, ni un carré, il faut que les valeurs des 3 cartes libres soient différentes entre elles et différentes de la valeur de la paire ( $\textstyle{{(N-1) \choose 3}}$ possibilités). Leurs couleurs sont libres ( $\textstyle{4^3}$ possibilités).

Au total, $\textstyle{{N \choose 1} {4 \choose 2} {(N-1) \choose 3} 4^3}$ .

Carte haute

Dans une main « Carte Haute », chaque carte a une valeur différente. Il faut donc tirer 5 valeurs parmi N. Cependant, parmi ces combinaisons, il y en a S qui forment des suites, qu'il ne faut pas compter. De plus, chacune de ces 5 cartes peut avoir n'importe quelle couleur, à condition que les 5 cartes n'aient pas la même couleur. Il y a donc $\textstyle{4^5-4}$ combinaisons de couleur. Au total, il y a $\textstyle{\left({N \choose 5}-S\right) \left(4^5-4\right)}$ combinaisons

Poker fermé : amélioration d'une main

Quinte flush, carré, full, couleur et quinte sont peu (ou pas) améliorables. On s'intéresse donc en particulier aux probabilités d'amélioration avec une main initiale de type carte haute, paire, brelan ou double paire. Dans les mains « carte haute », on note en particulier les cas où il ne manque qu'une carte pour former une couleur ou une quinte, que l'on appelle tirage.